Lógica proposicional
1.7. Lógica proposicional
Depois de termos Misto algumas noções fundamentais da chamada lógica aristotélica, ou seja, clássica, que é totalmente formal e demonstrativa, isto é, silogística, passemos então ao estudo da lógica moderna, que, além de ser formal, é sistematicamente simbólica dito de outra forma, a lógica moderna, ou seja, lógica ou inferência proposicional, recorre a uma linguagem simbólica para poder traduzir as proposições e as suas relações, evitando, desta forma, ambiguidades que resultam do uso que se faz da linguagem natural.
Na aplicação da lógica proposicional, é preciso ter em consideração os seguintes aspectos:
- As variáveis – que são as letras do nosso alfabeto, com que representaremos as proposições simples, ou seja, atómicas. As variáveis (que são em número indefinido) representam, portanto, qualquer enunciado. Por isso, são também denominadas como sendo letras enunciativas: p, q, r, s, t, p', q', r, 's', etc.,
- As conectivas ou operadores lógicos (como verás de seguida), que são em número de cinco: ~, A, V, → e ↔.
- Os parênteses (curvos os rectos) e as chavetas: {, [, (), ], }, i. Os parênteses e as chavetas funcionam como sinais de pontuação nas proposições complexas, tal como a virgula c os pontos. A ordem da sua utilização é a mesma que a da aritmética elementar: primeiro, os parênteses curvos (mais para o interior), de seguida os parênteses rectos e, por fim, as chavetas. Por isso, eles indicam quando é que uma proposição simples termina e quando é que a outra começa.
- Os valores lógicos das proposições: diz-se que a proposição p é verdadeira ou falsa quando o seu enunciado é verdadeiro ou falso. F. toda a proposição pode assumir um único valor lógico, sendo verdadeira ou falsa. Estes valores podem ser abreviados pelas leu-as V, verdadeiro (ou 1) e F, falso (0).
1.7.1. Proposições simples e proposições complexas
As proposições são frases do tipo declarativo às quais se associam os valores lógicos (verdadeiro ou falso).
As proposições podem ser de dois tipos: simples ou atómicas; complexas ou moleculares.
Simples ou atómicas – quando se trata de proposições que não se podem decompor noutras proposições, daí que o seu valor lógico depende unicamente do confronto com os factos de que enunciam.
Por exemplo: «Os moçambicanos são africanos»
Complexas ou moleculares – quando se trata de proposições decomponíveis noutras proposições consideradas mais simples, ou seja, proposições simples que, ligadas por partículas que se chamam conectores, formam uma só proposição complexa.
Par exemplo: «Lurdes Mutola foi campeã olímpica dos 800 m ou cantora e dançarina.»
Esta proposição é composta pelas seguintes proposições moleculares ou simples:
• «Lurdes Mutola foi campeã olímpica dos 800 m.»
• «Lurdes Mutola foi cantora.»
• «Lurdes Mutola foi dançarina.»
1.7.2. Conectivas lógicas ou operadores lógicos
As conectivas lógicas ou operadores lógicos são partículas que designam as diferentes operações lógicas. semelhança da aritmética elementar, em que os símbolos «+», «-», «x», «
» e designam diferentes operações aritméticas, isto é, operações sobre números, a: partículas «ou», se... então. e outras designam diferentes operações sobre valores de verdade.
» e designam diferentes operações aritméticas, isto é, operações sobre números, a: partículas «ou», se... então. e outras designam diferentes operações sobre valores de verdade.Observa o quadro das conectivas e as respectivas expressões verbais e símbolos:
Operação lógica | Expressão verbal | Símbolo |
Negação | não | ~ |
Conjunção | e | A |
Disjunção | ou | V |
Condicional (ou implicação) | se… então… | → |
Bicondicional (ou equivalência) | se e só se | ↔. |
1.7.3. As tabelas de verdade
As operações lógicas que se realizam com as conectivas são apresentadas sob a forma de tabelas de verdade, onde é possível combinar todos os valores de verdade possíveis das proposições conectadas.
Dado que estamos perante a lógica bivalente, isto é, a lógica que admite dois valores de verdade, verdadeiro ou falso, concluímos que são quatro os casos possíveis.
Consideremos a conjunção das seguintes proposições:
Khatija estuda
e
Mataka joga futebol.
Que valores de verdade assume esta proposição conjuntiva? Como dissemos, quatro são os casos possíveis. Atenta na tabela de verdade da página seguinte, que exemplifica esses casos.
Casos Possíveis | Proposições Simples | Proposição Composta (conjuntiva) | |
Khatija estuda. | Mataka joga futebol. | Khatija estuda e Mataka joga futebol. | |
1º Caso | Verdadeira | Verdadeira | Verdadeira |
2º Caso | Verdadeira | Falsa | Falsa |
3º Caso | Falsa | Verdadeira | Falsa |
4º Caso | Falsa | Falsa | Falsa |
Os 4 casos são logicamente possíveis. | Valor de verdade da proposição para cada caso possível. | ||
1.7.4. As operações lógicas sobre as proposições
Negação (~)
Se considerarmos verdadeira a proposição «A Lurdes Mutola é atleta moçambicana.», então a proposição «A Lurdes Mutola não é atleta moçambicana.» será falsa, pois esta última é a negação daquela.
Mas o que é a negação?
A negação é um operador que, ao ligar-se a uma única proposição, a torna falsa se é verdadeira e verdadeira se e falsa.
A negação é uma função de verdade, porque basta saber se uma proposição qualquer p é verdadeira ou falsa para se ficar a saber o valor de verdade que possui a nova proposição ~p.
Como uma proposição pode ter dais valores de verdade — verdadeiro (V ou 1) e falso (F ou 0) e como o valor lógico de cada proposição molecular, isto é, composta, depende especificamente dos valores lógicos das proposições simples atómicas que a compõem, podemos construir uma tabela de verdade para a negação na qual se relacionam os valores de verdade possíveis para a proposição p e para a sua negação, ~p.
P | ~P |
V | F |
F | V |
Conjunção (A ou & ou .)
Tomemos em consideração as proposições seguintes:
• Mataka está doente.
• Mataka vai ao médico.
Trata-se de duas proposições simples ou atómicas que podemos simbolizar pelas variáveis p e q. É possível combinar estas proposições recorrendo o conector «e» (A), de forma a obtermos uma nova proposição, a proposição molecular ou composta. Assim, teremos «Mataka está doente e vai ao médico». Neste caso, as duas proposições estão ligadas por conjunção.
A conjunção liga duas ou mais proposições através da conectiva representada pelo símbolo A (ou & ou .). A proposição resultante «Mataka está doente e vai ao médico» pode ser representada da seguinte forma: p A q (podendo ler-se «p e q».
A conjunção é verdadeira se e somente se as duas proposições forem verdadeiras. Basta que uma proposição seja falsa que a conjunção seja falsa.
Se as proposições «Mataka está doente» e «Mataka vai ao médico» são verdadeiras, então a proposição «Mataka está doente e vai ao médico» é verdadeira.
A tabela que se segue mostra em que condições a conjunção é verdadeira.
Mataka está doente. p | Mataka vai ao médico. q | Mataka está doente e vai ao médico. p A q |
V (1) | V (1) | V (1) |
V (1) | F (0) | F (0) |
F (0) | V (1) | F (0) |
F (0) | F (0) | F (0) |
Disjunção (V)
A disjunção é a operarão que expressa uma alternativa, a qual se traduz na linguagem corrente pela partícula «ou» e, na lógica matemática, por V.
Há dois tipos de disjunção.
Disjunção inclusiva
Na linguagem comum, identifica-se com a expressão «e/ou» e é representada pelo símbolo V (no sentido inclusivo).
A disjunção inclusiva é falsa quando as duas proposições que a compõem são falsas. Basta que uma das proposições simples seja verdadeira para que a disjunção inclusiva seja verdadeira.
Assim, a proposição «Está sol ou a temperatura está agradável» - é verdadeira nos casos seguintes:
Está sol. p | A temperatura está agradável. q | Está sol e/ou a temperatura está agradável. p V q |
V (1) | V (1) | V (1) |
V (1) | F (0) | V (1) |
F (0) | V (1) | V (1) |
F (0) | F (0) | F (0) |
Disjunção exclusiva (V~ ou VV)
Diz-se que urna disjunção é exclusiva quando as proposições simples que a compõem se excluem mutuamente, ou seja, quando a verdade de uma implica necessariamente a falsidade da outra. A proposição p vv q é verdadeira se p e q tiverem valores distintos e é falsa nos outros casos, isto é, só poderá ser verdadeira se e só se uma das proposições for verdadeira e a outra falsa, e será falsa caso as proposições simples sejam ambas verdadeiras ou falsas. Por isso, quando se enunciam proposições complexas ou moleculares, como «Está frio ou esta calor», «Estou vivo ou estou morto», não se admite que as proposições atómicas ou simples sejam simultaneamente verdadeiras.
Por conseguinte, é inaceitável, senão absurdo, que o tempo esteja frio e quente ou que alguém esteja vivo e morto ao mesmo tempo.
A disjunção exclusiva simboliza-se por V ou por VV.
Assim, a proposição «Adija passou de classe ou reprovou» exprime o seguinte significado exclusivo: ou Adija passou de classe ou reprovou, mas ela não pode ter passado de classe e reprovado ao mesmo tempo. Deste modo, pode destacar-se a sua estrutura, distinguindo as conectivas e as proposições (Adija passou de classe ou reprovou) e não (pode ter passado de classe e reprovado).
Simbolizando, num primeiro passo fica:
(Adija passou de classe V reprovou) A ~ (pode ter passado A reprovado)
E recorrendo às variáveis, temos: (pVq) A ~ (pAq).
Esta proposição pode escrever-se de uma forma mais simples: «pVq» ou, ainda, «pVVq».
Adija passou de classe. (p) | Adija reprovou. (q) | Ou Adija passou de classe ou Adija reprovou. (pVVq) |
V (1) | V (1) | F (0) |
V (1) | F (0) | V (1) |
F (0) | V (1) | V (1) |
F (0) | F (0) | F (0) |
Condicional ou implicação
Duas proposições «p e q» podem ser relacionadas recorrendo as conectivas lógicas «se... então…», formando uma proposição (molecular, ou seja, composta) condicional. «Se Adija estuda, então passa de classe», simbolicamente «p → q», podendo ler-se «se p, então q». Neste caso, a proposição «p» designa-se por antecedente ou condição (ou, ainda, hipótese), enquanto a proposição «q» se designa por consequente ou condicionado (ou, ainda, conclusão).
Numa implicação, se a proposição o antecedente, for verdadeira, também a proposição «q», o consequente, será verdadeira, uma vez que a fórmula «p → q» significa que não há «p» sem «q».
Desta forma, a implicação sé é falsa caso o antecedente seja verdadeiro e o consequente falso.
Adija estuda. (p) | Adija passa de classe. (q) | Se Adija estuda, então passa de classe. (p→q) |
V (1) | V (1) | V (1) |
V (1) | F (0) | F (0) |
F (0) | V (1) | V (1) |
F (0) | F (0) | V (1) |
Bicondicional ou equivalência (p↔q)
Consideremos a proposição Bicondicional «x é par ("p") se e só se ↔ x é divisível por 2 ("q")» Trata-se de uma proposição composta que liga as proposições atómicas (simples) através da expressão «se e só se», traduzida por ↔ (que se lê «se e só se p, então q)».
A equivalência ou bicondicional é verdadeira se «p e q» tiverem o mesmo valor e é falsa se tiverem valores lógicos diferentes, em conformidade com a tabela que é apresentada na página seguinte.
X é par. (p) | X é divisível por dois. (q) | X é par se e só se X é divisível por dois. (p↔q) |
V (1) | V (1) | V (1) |
V (1) | F (0) | F (0) |
F (0) | V (1) | F (0) |
F (0) | F (0) | V (1) |
Bibliografia
GEQUE, Eduardo; BIRIATE, Manuel. Filosofia 12ª Classe – Pré-universitário. 1ª Edição. Longman Moçamique, Maputo, 2010.
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